行空间垂直于零空间，且一同构成 $R^n$，列空间垂直于左零空间，且一同构成 $R^m$。

映射 $n$ 维的 $x$ 到 $m$ 维的空间时，特解是从行空间当中取的，齐次零解是从零空间当中取的。

1. 注意到第一个，方的可逆的时候，对应齐次只有零解，所以只有特解，因此图 4.3 中的两条 $x_n$ 也就不存在了（其实零空间都不存在了，行空间直接把 $n$ 维张满了）。 关于映射：这个映射使得 $x$ 仍待在原来的空间里，空间没有发生压缩，只是旋转或者翻转了，注意到它是可逆的，所以这个变换是唯一的，可回溯的。
2. 注意到第二个，矮的胖的时候，零空间是存在的，这个时候就有多个所谓的齐次解，行空间的 rank 也是 $m$ 的话，就可以确保存在一个 $x_r$，用来表示对应的 $b$，于是就有无穷多个 solution 了。 关于映射：另外注意矮胖是从高纬映射低维，丢失精度，不可逆。（$m<n$）
3. 注意到第三个，高和瘦的时候，零空间的秩是 $n - r$，此时 $r = n$，所以零空间直接无了，对应齐次只有零解，这时候 $x_n$ 就无了，只有 $x_r$ 了，这时候要考虑下，$x_r$ 到底能不能表示 $b$，就是看行向量能不能映射出 $b$，能就是唯一解，不能就是没解。 关于映射：是低维往高纬的映射，只有在有些情况下才可以。（$n<m$）
4. 最后一种情况主要看是否存在 $x_r$ 能表示 $b$，也就是有没有特解，零空间显然是存在的，所以齐次肯定是不止零解的，固然特解就决定了能不能表示 $b$，能表示的时候就有无穷多个，不能表示时候是 0 了。

参考：

矩阵的四个子空间及其联系